Рівняння і нерівності

13.10.14

Вирішуємо різна рівняння, не тільки х, а з різними літерами. В тому числі такі, в яких невідома змінна зустрічається у обох частинах рівняння.

Разом підмічаємо і записуємо правила вирішення, які виявляємо:

1. Зібрати споріднені доданки (числа до чисел, невідомі до невідомих)

2. Виконати усі можливі арифметичні дії

3. Збільшити або зменшити обидві частини рівняння на однакове число (навіть на невідоме)

4. Збільшити або зменшити обидві частини рівняння (повністю! за необхідності взяти в дужки) в однакову кількість разів.

Наприклад:

12 – 2 × у = 8                /:2

(12 – 2 × у) : 2 = 8 : 2

12 : 2 – 2 × у : 2 = 4

6 – у = 4                       /-4

6 – у – 4 = 4 – 4

2 – у = 0                      /+у

2 – у + у = 0 + у

2 = у, тобто у = 2

________________

12 – 2 × 2 = 8     

12 – 4 = 8

8 = 8

Майже випадково винайшли спосіб розкривання дужок. Точніше, всі його вже й так знали, але в молодших класах школи це зазвичай називається розподільним законом множення або ділення.

Він полягає в тому, що добуток числа на суму (різницю)  дорівнює сумі (різниці) добутків чисел. Та частка від ділення суми (різниці) на число дорівнює сумі (різниці) часток.

Тобто:

а × (b + c) = a × b + a × c

а × (b - c) = a × b - a × c

(b + c) : a = b : a + c : a

(b - c) : a = b : a - c : a

Але, в 2-3 класі це правило застосовують лише для відомих чисел і для спрощення арифметичних дій.

Наприклад:
742 × 3 = (700 + 40 + 2) × 3 = 700 × 3 + 40 × 3 + 2 × 3 = 2 100 + 120 + 6 = 2 226

693 : 7 = (700 – 7) : 7 = 700 : 7 – 7 : 7 = 100 – 1 = 99

Але очевидно, що навіть якщо одне з чисел невідоме, то це правило діятиме. Адже невідоме число, хоча й закодоване літерою, але все ж таки число. Так ми домовились розкривати дужки і в рівняннях.

14.10.14

Загалом у вирішенні рівнянь у нас гарно спрацьовує тактика «знешкодження». Зручно розказати на прикладі:

(2 × х + ½) × 5 – 15 = 0

Спершу ми позначаємо яким би був порядок дій, якби це було не рівняння, а приклад на обчислення.

Спочатку ми б зробили дії в дужках, спершу множення, а тоді додавання. Далі результат в дужках помножили б і наостанок виконали б віднімання.

А от під час вирішення рівнянь ми починаємо з кінця.

Беремо останню операцію, віднімання, і думаємо як її «знешкодити». А ми знаємо, що віднімання «знешкоджується» додаванням. Збільшуємо обидві частини рівняння на це число, виконуємо всі можливі арифметичні дії.

(2 × х + ½) × 5 – 15 + 15 = 0 + 15

(2 × х + ½) × 5 = 15

Далі «знешкоджуємо» множення за допомогою ділення:

(2 × х + ½) × 5 : 5 = 15 : 5

2 × х + ½ = 3

Відтак «знешкоджуємо» додану половинку – відніманням:

2 × х + ½ - ½ = 3 - ½

Разом з тим повторюємо арифметичні операції з дробами.

2 × х = 2½

Такі приклади лякають, тільки якщо їх писати прикладами 2½ : 2. А якщо сказати, що після святкування дня народження залишилось два з половиною торти і два друга вирішили розділити їх між собою порівну, то якось одразу стає зрозуміло, що кожний візьме собі по цілому торту, а половинку вони розділять надвоє і візьмуть кожний по четвертинці.

Отже, х = 1¼ .

Іноді, коли збільшення або зменшення обох частин рівняння на однакове число виглядає очевидним, ми скорочуємо запис і говоримо про те, що якесь число «переїжджає за кордон» - по той бік знаку «дорівнює», але при цьому змінює громадянство – знак, на протилежний.

3 × х – 21 = 0

Перед 21 стоїть знак «-», отже при «переїзді» від перетвориться на «+».

3 × х = 21

Пам’ятаємо, що якщо перед числом ніякого знаку не написано – це «+».

Мені особисто більше подобається коли ми додаємо або віднімаємо числа до обох частин рівняння, це якось більше відповідає їхній суті. Але іноді спосіб з «переїздом» виглядає простішим, тож мені важливо показати їм різноманітні варіанти рішень, щоб кожний міг обирати на свій смак. Загалом завжди, коли є можливість ми розглядаємо різні способи вирішення однієї задачі.

І почали знайомитись з нерівностями. Загалом для нерівностей діють ті самі правила, що й для рівнянь. Тільки шальки терезів не зрівноважені, а перехилені на якийсь один бік і необхідно виконувати дії так, щоб цей перевіс не порушити.

13 – 5 × а > 0

5a «переїжджає» за кордон.

13 > 5 × а

Ділимо обидві частини рівняння на 5

13 : 5 > а

Щоб розділити 13 на 5 малюємо 13 тортів і 5 гостей, які то все мають порівну з’їсти.

2 3/5 > a

Такий запис в перший момент збив з пантелику «два і три п’ятих більше ніж а, то яке ж тоді а?»

Але після аналогій з натурпродуктом все стало на місця: Якщо у відрі яблук більше ніж в кошику, отже в кошику – менше ніж у відрі. В класі дівчат більше ніж хлопців, отже хлопців – менше ніж дівчат.

Маємо відповідь: нерівність справджується для всіх а < (2 цілих і 3/5).

Валентина Мержиєвська